二分图匹配

二分图

简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ,使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。

二分图的匹配

最大匹配:

一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。

完美匹配:

如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配.显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。

交替路:

从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路:

从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。

匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

例题:

以下内容转自与Dark_Scope的博客:链接

通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(😄暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉快哭了),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:

第一步:

先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线

第二步:

接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it

第三步:

接下来是3号男生,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?

我们试着给之前1号女生匹配的男生(也就是1号男生)另外分配一个妹子。(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配.重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去

2号男生可以找3号妹子

1号男生可以找2号妹子了

3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是:

第四步:

接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……香吉士同学走好.

这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个递归的过程,最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上

代码模板:

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bool find(int x)
{
int i,j;
for (j=1;j<=m;j++)
{ //扫描每个妹子
if (line[x][j]==true && used[j]==false)
//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题)
{
used[j]=1;
if (girl[j]==0 || find(girl[j]))
{
//名花无主或者能腾出个位置来,这里使用递归
girl[j]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}

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int main()
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(used,0,sizeof(used)); //这个在每一步中清空
if find(i) all+=1;
}
}

在主程序我们这样做:每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步;